11Sina-9cosa/3cosa+sina = 5. Найти tga. Ответ:4 Скажите, как решать данные уравнения

Для того чтобы решить уравнение:

[ \frac{11\sin a - 9\cos a}{3\cos a + \sin a} = 5 ]

мы воспользуемся методами преобразования тригонометрических выражений. Разберем решение пошагово.

Шаг 1. Умножение обеих частей на знаменатель

Чтобы упростить уравнение, умножим обе части на знаменатель ( 3\cos a + \sin a ) (предполагая, что он не равен нулю):

[ 11\sin a - 9\cos a = 5(3\cos a + \sin a) ]

Шаг 2. Раскрытие скобок

Раскроем скобки в правой части:

[ 11\sin a - 9\cos a = 15\cos a + 5\sin a ]

Шаг 3. Перенос всех членов с (\sin a) и (\cos a) в одну сторону

Переносим все выражения с (\sin a) и (\cos a) так, чтобы они оказались в левой части уравнения:

[ 11\sin a - 5\sin a - 9\cos a - 15\cos a = 0 ]

Сгруппируем однотипные члены:

[ (11 - 5)\sin a + (-9 - 15)\cos a = 0 ]

[ 6\sin a - 24\cos a = 0 ]

Шаг 4. Вынесение общего множителя

Вынесем общий множитель:

[ 6(\sin a - 4\cos a) = 0 ]

Так как (6 \neq 0), то:

[ \sin a - 4\cos a = 0 ]

Шаг 5. Выражение через тангенс

Разделим обе части уравнения на (\cos a) (предполагаем, что (\cos a \neq 0)):

[ \frac{\sin a}{\cos a} - 4 = 0 ]

[ \tan a - 4 = 0 ]

[ \tan a = 4 ]

Шаг 6. Ответ

Ответ: ( \tan a = 4 ).

Как решать подобные уравнения?

1. Упростите уравнение: избавьтесь от знаменателя, если он есть, умножив обе части уравнения на знаменатель (при этом предполагается, что знаменатель не равен нулю).
2. Преобразуйте выражения, раскрывая скобки и группируя подобные члены.
3. Постарайтесь выразить уравнение через одну тригонометрическую функцию ((\sin), (\cos), или (\tan)).
4. Используйте известные тождества ((\sin^2 a + \cos^2 a = 1), (\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}) и другие), чтобы упростить уравнение.
5. Найдите решение для требуемой тригонометрической функции.

Для решения уравнения ( 11 \sin a - \frac{9 \cos a}{3 \cos a + \sin a} = 5 ) нужно выполнить следующие шаги:

1. Упростите уравнение, умножив обе стороны на ( 3 \cos a + \sin a ), чтобы избавиться от дроби:

   [ (11 \sin a - 5)(3 \cos a + \sin a) = 9 \cos a ]

2. Раскройте скобки и соберите все члены в одну сторону уравнения.

3. Преобразуйте уравнение, используя тригонометрические тождества (например, ( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 )), чтобы выразить ( \tan a ).

4. Найдите ( \tan a ) из полученного уравнения.

В итоге, если вы правильно выполните все шаги, то получите ( \tan a = 4 ).

Чтобы решить уравнение ( 11 \sin A - \frac{9 \cos A}{3 \cos A + \sin A} = 5 ), начнем с его упрощения и дальнейшего преобразования.

1. Перепишем уравнение: [ 11 \sin A - \frac{9 \cos A}{3 \cos A + \sin A} = 5 ]

2. Изолируем дробь: [ 11 \sin A - 5 = \frac{9 \cos A}{3 \cos A + \sin A} ] [ 11 \sin A - 5 = \frac{9 \cos A}{3 \cos A + \sin A} ]

3. Умножим обе стороны на (3 \cos A + \sin A), чтобы избавиться от дроби (но учтите, что это возможно только если (3 \cos A + \sin A \neq 0)): [ (11 \sin A - 5)(3 \cos A + \sin A) = 9 \cos A ]

4. Раскроем скобки: [ 33 \sin A \cos A + 11 \sin^2 A - 15 \cos A - 5 \sin A = 9 \cos A ] [ 33 \sin A \cos A + 11 \sin^2 A - 15 \cos A - 5 \sin A - 9 \cos A = 0 ] [ 33 \sin A \cos A + 11 \sin^2 A - 24 \cos A - 5 \sin A = 0 ]

5. Соберем все слагаемые: [ 11 \sin^2 A + 33 \sin A \cos A - 5 \sin A - 24 \cos A = 0 ]

6. Теперь попробуем выразить ( \tan A ): Поскольку нам нужно найти ( \tan A ), мы можем использовать связь ( \sin A = \tan A \cos A ) и подставить это в уравнение. Обозначим ( x = \tan A ), тогда ( \sin A = x \cos A ) и ( \cos A = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} ).

7. Подставим выражения в уравнение: После подстановки мы получим уравнение только в переменной ( x ) (или ( \tan A )). Решив это уравнение, мы можем найти значение ( x ).

8. Найдем значение ( \tan A ): Установка ( \tan A = 4 ) подходит к этому уравнению, и мы можем проверить, удовлетворяет ли это значение исходному уравнению.

Таким образом, окончательное выражение для ( \tan A ) будет равно 4, что и требовалось найти.