- Найдите объединение и пересечение числовых промежутков: а) ( - ∞; 5) и (1; + ∞); б) (1; 3) и [1; + ∞); в) [0; 2] и ( - ∞; 0).
Давайте рассмотрим каждый из промежутков по отдельности:
а) Для промежутков ( (-\infty, 5) ) и ( (1, +\infty) ):
Объединение этих промежутков ( (-\infty, 5) \cup (1, +\infty) ) включает все значения, которые находятся либо в первом, либо во втором промежутке. Поскольку промежутки перекрываются начиная с ( 1 ), объединение будет включать все числа от (-\infty) до (+\infty), то есть ( (-\infty, +\infty) ).
Пересечение этих промежутков ( (-\infty, 5) \cap (1, +\infty) ) включает только те значения, которые находятся одновременно в обоих промежутках. Это будут все числа от ( 1 ) до ( 5 ), но не включая эти конечные точки: ( (1, 5) ).
б) Для промежутков ( (1, 3) ) и ( [1, +\infty) ):
Объединение этих промежутков ( (1, 3) \cup [1, +\infty) ) включает все значения, которые находятся хотя бы в одном из промежутков. Здесь это будет промежуток от ( 1 ) (включительно, так как он присутствует во втором промежутке) до ( +\infty ): ( [1, +\infty) ).
Пересечение этих промежутков ( (1, 3) \cap [1, +\infty) ) включает только те значения, которые находятся одновременно в обоих промежутках. Это интервал от ( 1 ) до ( 3 ), включая ( 1 ) и не включая ( 3 ): ( [1, 3) ).
в) Для промежутков ( [0, 2] ) и ( (-\infty, 0) ):
Объединение этих промежутков ( [0, 2] \cup (-\infty, 0) ) включает все значения, которые находятся хотя бы в одном из промежутков. Здесь это будет промежуток от (-\infty) до (2), включая (0) и (2): ( (-\infty, 2] ).
Пересечение этих промежутков ( [0, 2] \cap (-\infty, 0) ) включает только те значения, которые находятся одновременно в обоих промежутках. Поскольку (0) является крайней точкой обоих промежутков, пересечением будет только точка (0), и обозначается это как ( {0} ).
a) Объединение промежутков (-∞; 5) и (1; +∞) равно (-∞; +∞), так как включает в себя все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности. Пересечение данных промежутков равно (1; 5), так как включает в себя только числа в интервале от 1 до 5, не включая границы.
б) Объединение промежутков (1; 3) и [1; +∞) равно (1; +∞), так как включает в себя все числа больше 1, включая саму 1. Пересечение данных промежутков равно (1; 3), так как включает в себя только числа в интервале от 1 до 3, не включая границы.
в) Объединение промежутков [0; 2] и (-∞; 0) равно (-∞; 2], так как включает в себя числа от минус бесконечности до 2 включительно. Пересечение данных промежутков равно пустому множеству, так как данные промежутки не имеют общих элементов.
а) Объединение: (-∞; +∞), Пересечение: (1; 5) б) Объединение: (1; +∞), Пересечение: (1; 3) в) Объединение: (-∞; 2), Пересечение: Пустое множество
